著作権についての質問です

この場合の問題は著作権ではありません。
この場合気にするべきなのは「所有権」「肖像権」のほうです。
もしも被写体が展示された絵で、それを正面から真四角に複写しただけの写真、などの場合は著作権（複製権）の侵害を疑うべきですが、この場合は絵でなく化石を例示してらっしゃいますよね。
撮影が即「著作物複製」にあたるような被写体でないとしても、所有者が「撮影は制限する」という条件で展示している博物館展示物は多数あります。（禁止の合理的な理由は多数あります。ヤフオク美術品出品詐欺などで悪用されやすいとか、フラッシュで劣化する状態だとか、他の客のスムーズな観覧の妨げになるとか、持ち帰って無料でみせびらかしてほしくないとか）。
きちんとした博物館ならば「撮影可能」か「撮影禁止」かがちゃんと明示してあるはずです。
となれば、博物館に入る時点で「撮影禁止が表示された化石は撮影禁止だということに同意する。」という契約を入館者と博物館（を通した所有者）が、あらかじめ、結んでいるのだ、ということになります。
そこで敢えて写真をとり、大々的に公表すると、契約を破る一般不法行為で損害賠償をもとめられる可能性があります。
いわば、ものにも「物の肖像権」が自然と認められている場合があるのです。
「忠犬ハチ公」の彫像を広告に使っても問題ないか？｜JARO　日本広告審査機構
もちろん、展示物が撮影可能と表示されている場合の写真撮影は問題ないです。
　
　
博物館と関係がなくても、
不正な手段、
たとえば撮影禁止のはずの場所、風呂やトイレ、でこっそりと盗撮、とか、
被写体の人が「撮るな」と制止しているのに無理矢理とか、
有名な写真の撮影シチュエーションを全部マネして複製っぽいものをつくるとか…
そういった手段で撮影した写真は、コンテストに出品できません。
コンテスト応募規約に著作権法違反はじめとしていかなる違法な手法でも撮影しないことは
普通はかいてありますし、
もし明示されていなくても不文律として包含されているはずです。
もし不正な手段で撮影した写真が授賞しても
異議がでればあとで取消しになります。
「死んだ鯨の上に載ってガッツポーズしたのは
よく考えると命を軽んじている。」という程度のことでも
授賞はあっさり取り消された実績がある
http://girlschannel.net/topics/685831/
のです。
そうなれば「あの博物館ではその化石の撮影を許可していないはず」の一言でも、
やはり取り消されるでしょう。
デリケートな問題がありそうなら、
最初にすべて回避しておくべきです。
　
ただ、写真家は仲間内では撮影制限、肖像権、もののパブリシティ権などをあまり重くとりあげたくない人が多いみたいですね。　
写真著作権と肖像権 | 公益社団法人　日本写真家協会
あまり大々的に肖像権のことを言うとどの写真も撮れなくなるのはわかりますが、
このタイトルに「肖像権」とあるページで、実際に肖像権のことをかいているのは「Q：テーマパークで着ぐるみのキャラクターと一緒に撮った家族写真をブログに載せたいのですが?」のところと、一番下の注だけです。プロだろうに、いい加減すぎるのではないか、という印象です。
　
いっぱしの大人でもいろいろ迷いがちなところのようです。
http://smoglog.hatenablog.com/entry/2014/10/31/231134　の
「◯ちょっと不快な話かもしれませんが、仏像の展示について。」をよんでください。
その場で学芸員さんや職員さんに尋ねるべきだったのではないかと私はおもいます。

あと、映り込みとしての使用については別途おたずねください。